De metaforer och förklaringsmodeller som lärare använder för negativa tal skapar förvirring och motsägelser bland eleverna. Det menar forskaren Cecilia Kilhamn, som efterfrågar ett tydligare matematiskt språk.
Negativa tal, alltså tal mindre än noll, ställer till problem för många elever. Lektor Cecilia Kilhamn vid Göteborgs universitet har stött på bekymret både som mellanstadielärare och som gymnasielärare i matematik. Hon har även märkt att lärarstudenterna vid Pedagogen i Göteborg, där hon undervisar, har stora problem med att lösa uppgifter med negativa tal. Därför inledde hon sin avhandling Making Sense of Negative Numbers med en pilotstudie på 99 lärarstudenter. De flesta visade sig ha Image may be NSFW.
Clik here to view.
dåliga kunskaper i subtraktion och multiplikation av negativa tal. Enligt studenterna var orsaken att talen var abstrakta. Men inte heller när de fick konkretisera uppgifterna så blev svaren helt korrekta.
– De använde bland annat termometern för att visa hur man subtraherar en negativ temperatur, men det fungerar inte alltid. När jag såg lärarstudenternas resultat så tänkte jag att jag måste undersöka hur lärare och läroböcker presenterar det här stoffet på en skola i dag.
Hon beslöt sig för att följa en vanlig svensk klass i tre år, från sexan till nian, i en longitudinell fallstudie. Under de tre åren har hon studerat hur eleverna har utvecklat sina kunskaper när talområdet har utvidgats från att handla om enbart naturliga tal till tal med tecken, det vill säga positiva och negativa tal. Hon har studerat språket som används av läraren och i läroböckerna och hur detta påverkar eleverna. Det som främst har intresserat henne är de metaforer som används för att illustrera negativa tal. Det görs till exempel med hjälp av temperaturer, skulder eller hissar. Problemet, enligt Cecilia Kilhamn, är att metaforerna inte berättar hela sanningen och därför blir missvisande. Detta skapar förvirring bland eleverna.
– Om läraren till exempel väljer att prata om skulder, som är ganska vanligt, och någon har en skuld på 8, och den ökar med 2 så blir skulden 10. Men svaret som läraren vill ha −10, det vill säga −8−2. Det blir förvirrande, i språket har läraren berättat att det handlar om en skuld, men eleven vet inte om svaret blir positivt eller negativt. Här finns också ett problem med storleken på talet. Om en skuld växer så blir talet större, men samtidigt är −10 mindre än −8.
Ett annat exempel som hon tar upp i studien rör skillnader mellan tal. Om eleverna använder en tallinje för att få fram skillnaden mellan −3 och +4 blir svaret 7. Men svaret kan också bli 1 (−3+4).
– Läraren måste ställa alternativen mot varandra, lyfta upp motsägelserna i metaforerna och vara tydligare. Det gäller även för de regler som används vid negativa tal; två minustecken blir inte alltid plus, men det känner inte alla elever till.
Cecilia Kilhamn tycker att elevernas svårigheter med att förstå negativa tal påminner om de olika stötestenar som matematiker haft genom historien. Hon tror att om lärarna var mer pålästa och kunde ge historiska förklaringar på hur vissa regler har tillkommit, så skulle det både underlätta för eleverna och ge lärarna större förståelse för problemen.
Hon ser också stora brister i det svenska matematiska språket om man jämför med till exempel engelskans. I Sverige gör vi ingen skillnad på subtraktion av talet x och det negativa talet x, om båda omnämns som ”minus x”. Vi saknar också det ord som motsvaras av engelskans ”signed number”, alltså tal med tecken.
– I svenska läroböcker introduceras negativa tal utan att det blir tydligt att alla de naturliga talen då samtidigt förändras och blir positiva.
En grundförutsättning för att eleverna ska förstå negativa tal är att de har kunskap om tallinjen. I den klass som Cecilia Kilhamn har följt fanns det stora brister på just det området. Detta förvånade henne mest vid arbetet med studien. Innan eleverna började med negativa tal så hade de endast gjort en typ av övning med tallinje.
Den gick ut på att fylla i ett tal som saknas, till exempel en 4 mellan 3 och 5. Det innebar att när de väl skulle börja räkna med negativa tal så var det många som inte ens visste hur en tallinje såg ut.
– Jag tycker det borde vara lika självklart att ha en tallinje på väggen i klassrummet som ett alfabet. Själva tallinjen ska inte vara ett problem när de börjar med negativa tal, utan den ska användas som redskap och sitta i ryggraden, säger hon och tillägger att även goda kunskaper i subtraktion är en bra förutsättning.
Det är också viktigt att lärarna använder orden subtraktion, addition, multiplikation, summa, differens och så vidare så att eleverna lär sig dem och inte enbart minus, plus och svar, menar Cecilia Kilhamn.
– Lärarna måste vara tydligare här och till exempel säga att nu ska vi subtrahera ett negativt tal.
Henrik Ekberg